R. CUNEO: Quelques notions sur les Nœuds


Introduction

Il faut faire, pour commencer, la distinction entre un noeud de la vie courante (où les extrémités des brins sont libres) et le noeud mathématique où les deux extrémités de chaque brin sont nouées (« à l'infini », nous en reparlerons avec la droite achevée identifiée à un cercle).

Schema d'un neud Boroméen

Identification de la droite complétée ou achevée avec le cercle : On peut exhiber une correspondance univoque entre les points de la droite et ceux du cercle privé du point dit « à l'infini ». Compactifier ou achever la droite revient à l'identifier au cercle en « ajoutant » ce point à l'infini.


A chaque point M de la droite, on fait correspondre un point M' du cercle privé du point à l'infini et à chaque point N du cercle (privé du point à l'infini), on fait correspondre un point N' de la droite, comme indiqué sur la figure. On comprend intuitivement que le point à l'infini correspond de manière unique aux « deux infinis » (gauche et droit) de la droite.

Historique et Manipulations

La théorie des noeuds est récente relativement à l'histoire des mathématiques. Plusieurs scientifiques ont évoqué le problème des noeuds (Descartes, Gauss, pour les plus connus), mais le point de départ semble être les travaux de J.B. Listing (en 1848), élève de C.F. Gauss qui publie Vorstudien zur Topologie.
(Remarque : le noeud de la figure huit ou noeud de quatre s'appelle aussi noeud de Listing)

Historiquement, on peut distinguer trois points de vue mathématiques essentiels pour l'étude des noeuds :

1. Le point de vue géométrique, le fait de regarder le (simple) tracé du noeud dans l'espace, comme le sillage d'un avion, sillage qui ne se couperait pas lui-même sauf en un point qui fermerait le noeud.

Un intérêt du point de vue géométrique est de pouvoir paramétrer la courbe fermée du noeud dans l'espace grâce à des équations (longueur, angle, vrillage, nombre d'entrelacements : intérêt pour l'étude de l'ADN).

2. Le point de vue topologique.
Exemple : un cercle (noeud trivial, non noué au sens mathématique) et un noeud de trèfle que l'on a volontairement emmêlés sont difficilement reconnaissables et discernables l'un de l'autre.

Deux noeuds sont isotopes lorsqu'on peut passer de l'un à l'autre par des déformations continues (sans couper la ficelle et sans que la ficelle « se traverse » elle-même, ce qui est physiquement impossible).

Deux noeuds sont équivalents lorsqu'ils sont isotopes ou que l'image dans le miroir de l'un des deux est isotope à l'autre.

Par exemple, les noeuds de trèfle gauche et droit sont équivalents (c'est pourqoui on dit qu'il n'y a qu'un noeud à trois croisements) mais pas isotopes. On dit qu'il n'est pas chiral.

On peut donc déformer autant que l'on veut un noeud de trèfle droit, on n'obtiendra jamais un 
noeud de trèfle gauche :

 

En revanche le noeud en huit est chiral, c'est-à-dire qu'il est isotope à son image dans le miroir :

Ayant parlé des déformations continues, on peut expliquer par une manipulation simple ce que Lacan appelle le « faux trou » (Séminaire 23 page 24 puis pages 82 et 83) :

Créer deux cercles, un bleu et un rouge, les déformer comme des croissants de lune et les placer de façon symétrique. Les accrocher en faisant passer l'arrondi intérieur du bleu sous l'arrondi intérieur du rouge. Ce sont toujours deux cercles distincts que l'on peut séparer. Entourer ensuite l'un des deux cercles accrochés par un dernier cercle vert. On obtient alors un noeud borroméen : 



En manipulant ce dernier noeud (on commence par mettre le cercle vert en haut et par essayer de décrocher les cercles bleus et rouge comme on les avait accrochés) et en arrondissant les cercles, on arrive à la forme classique du noeud borroméen.

Représentation d'un noeud :

On représente en général un noeud par une projection plane de la courbe fermée de l'espace, comme si on la posait sur une table, en s'arrangeant pour qu'en tout croisement (le fait d'être sur un plan permet de parler facilement de croisement, ce qui n'est pas simple dans l'espace), il n'y ait que deux brins qui se croisent (on démontre que c'est toujours possible en déplaçant les brins).

Par convention, on indique le brin qui passe « au-dessus » en interrompant le brin qui passe « au-dessous ».

On parlera par abus de langage d'un noeud à la place d'une projection de noeud. Les déformations possibles (qui correspondent aux déformations continues du noeud réel) sur ces projections 
s'appellent les trois mouvements de Reidemeister :

On démontre que deux noeuds sont isotopes si et seulement si l'on peut passer de l'un à l'autre par un nombre fini de mouvements de Reidemeister.

Résultat intéressant en théorie, mais peu en pratique, car on ne peut savoir à l'avance combien de mouvements il faudra effectuer pour passer d'un noeud donné à un autre, ni dans quel ordre, même si l'on sait que ces deux noeuds sont isotopes.

3. Le point de vue algébrique issu du précédent où l'on essaie en quelque sorte de chiffrer le noeud .

On essaie de trouver des quantités (nombre de croisements, « groupe du noeud » avec une opération, suite d'idéaux, polynômes de noeuds) qui sont constantes quelles que soient les déformations (continues) que l'on fait subir au noeud, donc quelle que soit sa représentation plane.

En d'autres termes, si deux noeuds sont isotopes, ils auront le même invariant.

Malheureusement, à ce jour, aucun invariant n'est complet, c'est-à-dire qu'il existe toujours des noeuds ayant le même invariant mais qui ne sont pourtant pas isotopes.

Par exemple, si l'on choisit le nombre minimal de croisements, dont on démontre que c'est un invariant de noeud (c'est-à-dire que ce nombre minimal de croisement est toujours le même pour une classe de noeuds isotopes), il y a 2 noeuds à 5 croisements et déjà 249 ayant 10 croisements ou moins.

Les tables de noeuds ont été créées à partir de méthodes combinatoires assez élémentaires (1877, par Tait et Little) à partir de cet invariant mais il a fallu attendre 1920 (les polynômes d'Alexander) pour avoir plus de certitudes sur les démonstrations. Il y avait d'ailleurs quelques erreurs.

On voit donc se dessiner trois problématiques :

1. Un noeud est-il trivial, c'est-à-dire, peut-on le dénouer ?

2. Deux noeuds d'apparence distincte sont-ils isotopes ou équivalents ?

3. Peut-on classer les noeuds selon des propriétés caractéristiques et invariantes, c'est-à-dire qui ne dépendent pas des déformations continues appliquées aux noeuds ?

Les invariants sont là pour tenter de répondre à ces questions mais aucun système d'invariants (sauf peut-être ceux de Vassiliev de 1989) n'a été démontré comme complet.

Prenons l'exemple d'un invariant simple qui est celui de la tricolorabilité (Fox, 1962) :

On dit qu'un noeud est tricolorable si
1. Chaque brin (i.e. chaque morceau de courbe entre deux croisements consécutifs) est coloré par une couleur
2. Lorsqu'un brin passe au dessus d'un croisement, le brin qui le suit est de même couleur.
3. A chaque croisement, exactement une ou trois couleurs sont représentées.
4. On utilise au moins deux couleurs pour colorier le noeud, i.e. tous les brins ne sont pas de la même couleur.

La propriété de tricolorabilité est préservée par les mouvements de Reidemeister.

« Démonstration » :
Chacune des figures suivantes représente une partie d'un noeud sur laquelle un mouvement de Reidemeister est possible. Que l'on parte de la figure de gauche ou de droite, le mouvement ne change rien au fait que le noeud est tricolorable; en particulier, les extrémités des brins (reliées au reste du noeud) gardent toujours la même couleur.

Pour le premier mouvement de Reidemeister, la condition 3 de tricolorabilité implique de n'utiliser qu'une seule couleur.
En d'autre termes, l'action de faire ou défaire une boucle dans un noeud donné ne change pas le fait qu'il soit ou non tricolorable. 


Pour le deuxième mouvement de Reidemeister, il y a deux cas, au choix des couleurs près : 

Pour le troisième mouvement, il y a six cas, nous n'en traitons que deux, les autres s'obtenant de manière similaire. La coloration de 3 brins fixés implique celle des trois autres.


Le noeud de trèfle est tricolorable, de manière unique au choix des couleurs près.

 

Comme le noeud trivial ne l'est pas (contradiction des conditions 1 et 4), le noeud de trèfle n'est pas trivial, donc ne se dénoue pas.

De plus, comme il n'y a pas de noeud à 1 ou 2 croisements (le faire avec les mouvements de Reidemeister), ce noeud non trivial a atteint son nombre minimal de croisement à isotopie près.

Le noeud de trèfle est donc un noeud à 3 croisements.

Le noeud de 8 n'est pas tricolorable (essayer de le faire en commençant à colorier un brin d'un sur-croisement à un autre). Cet invariant permet de le distinguer du noeud de trèfle mais pas du noeud trivial, donc on n'a pas démontré que le noeud de 8 ne peut pas se dénouer...





Références : (non purement mathématiques)

« La science des Noeuds », Pour la Science, Belin.

Quelques sites sur les noeuds :

« http://www.sciences.ch/htmlfr/algebre/algebrethnoeuds01.php »

« http://www.mjc-andre.org/pages/amej/edition/0013noeu_bayer/0013noeu_bayer.html »

En haut En bas